(2002•山西)已知:如圖,A是⊙O1、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)M是O1O2的中點(diǎn),過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA,分別交⊙O1、⊙O2于B、C.
(1)求證:AB=AC;
(2)若O1A切⊙O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:d1+d2=O1O2;
(3)在(2)條件下,若d1d2=1,設(shè)⊙O1、⊙O3的半徑分別為R、r,求證:R2+r2=

【答案】分析:(1)作O1D⊥AB于點(diǎn)D,O2E⊥AC于點(diǎn)E,分別運(yùn)用垂徑定理得到BD=AD,AE=CE,易得AB=AC;
(2)利用梯形中位線定理,即可O1D+O2E=2AM,d1+d2=O1O2
(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),表示出d1=,d2=;再結(jié)合(2)的結(jié)論,進(jìn)行證明.
解答:證明:(1)分別作O1D⊥AB于點(diǎn)D,O2E⊥AC于點(diǎn)E.
則AB=2AD,AC=2AE.
∵O1D∥AM∥O2E,
∵M(jìn)為O1O2的中點(diǎn),
∴AD=AE,AB=AC.

(2)∵O1A切⊙O2于點(diǎn)A,
∴O1A⊥O2A,
又∵M(jìn)為O1O2的中點(diǎn),O1O2=2AM
在梯形O1O2ED中,
∵AM為梯形的中位線,O1D+O2E=2AM,
∴O1D+O2E=O1O2,
即d1+d2=O1O2

(3)∵O1A⊥O2A,
∴∠AO1D=∠O2AE,
∴Rt△O1AD∽R(shí)t△AO2E.
==,
==
∴AD•AE=d1•d2=1.
即由(1)(2)知,AD=AE=1,O1O2=d1+d2,
∴d1=,d2=,
∴R2+r2=O1O22=(d1+d22=(+2=
點(diǎn)評(píng):解答此題要注意利用相交兩圓的特點(diǎn),作出輔助線.構(gòu)造直角三角形和梯形,利用其性質(zhì)建立起各量之間的聯(lián)系.
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(1)證明:△OAB為等邊三角形;
(2)若△OAB的內(nèi)切圓半徑為1,求出拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△POB是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2)若O1A切⊙O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:d1+d2=O1O2
(3)在(2)條件下,若d1d2=1,設(shè)⊙O1、⊙O3的半徑分別為R、r,求證:R2+r2=

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