Question

已知關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b為實(shí)數(shù)．
（1）若此方程有一個根為2a（a＜0），判斷a與b的大小關(guān)系并說明理由；
（2）若對于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-2ax-a+2b=0有一個根為2a，
∴4a²-4a²-a+2b=0，
整理，得b=，
∵a＜0，
∴a＜，
即a＜b；

（2）△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
∵對于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，
∴對于任何實(shí)數(shù)a，都有4a²+4a-8b≥0，即a²+a-2b≥0，
∴對于任何實(shí)數(shù)a，都有b≤，
∵=（a+）²-，
當(dāng)a=-時，有最小值-，
∴b的取值范圍是b≤-．
分析：（1）把x=2a代入求值即可；
（2）只要讓根的判別式△=b²-4ac≥0，進(jìn)行判斷即可．
點(diǎn)評：本題綜合考查了根的判別式和與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)．