Question

定義：對于拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b²=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y=2x²-2x+2是黃金拋物線．
（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點個數(shù)的情況（要求說明理由）；
（3）將（2）中的黃金拋物線沿對稱軸向下平移3個單位
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；
②設①中的新拋物線與y軸交于點A，對稱軸與x軸交于點B，動點Q在對稱軸上，問新拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由[注：第小題可根據(jù)解題需要在備用圖中畫出新拋物線的示意圖（畫圖不計分）]
【提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】．

Answer 1

分析：（1）利用b²=ac即b²-ac=0的拋物線為黃金拋物線；
（2）根據(jù)題意得到b²=ac，然后結(jié)合根的判別式即可求得其根的判別式，根據(jù)判別式得到拋物線與x軸的交點情況即可．
（3）根據(jù)拋物線的平移規(guī)律即可得到平移后的拋物線的解析式，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到使以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB全等的點P的坐標．

解答：解：（1）答：如y=x²，y=x²-x+1，y=x²+2x+4等；（3分）

（2）依題意得b²=ac
∴△=b²-4ac（4分）
=b²-4b²
=-3b²，（5分）
∴當b=0時，△=0，此時拋物線與x軸有一個公共點（6分）
當b≠0時，△＜0，此時拋物線與x軸沒有公共點（7分）

（3）答：①新拋物線的解析式為y=2x²-2x-1（9分）
②存在（10分）
有四個符合條件的點P的坐標：（0，-1），（1，-1），（-

1

2

，

1

2

），（

3

2

，

1

2

）（14分，答對一個給1分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．