Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸負半軸交于C，頂點為D．
（1）當OC=OB時，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點C恰好落在拋物線上若存在，求旋轉(zhuǎn)后△ACP三個頂點的坐標；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點C在y軸負半軸上移動，則△ACD與△ACB面積之比是否為一定值？若是定值，請求出其值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：OB=3，因此OC=OB=3，即C（0，-3），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），已知拋物線過C點，則有：
a（0+1）（0-3）=-3，a=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）A、C、P對應點的坐標為（-2，-5）（1，-4）（1，-3），
或（-1，-4），（2，-3），（1，-2）．

（3）y=ax²-2ax-3a（a＞0），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），
∴S_△ACB=×4×3a=6a，
∴S_△ACD=×1×3a+（3a+4a）×1-×2×4a=a，
∴．
分析：（1）可根據(jù)B點坐標和OB=OC得出C點的坐標，根據(jù)A、B、C三點坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）本題分兩種情況：
①如圖：易知：C（0，-3），D（1，-4），如果過C作x軸的平行線，交拋物線的對稱軸與M，那么三角形CMD是等腰直角三角形，因此M點符合P點的要求．此時C′與D重合，因此P（1，-3），C′（1，-4），A′（-2，-5）．（求A′坐標時，設拋物線對稱軸與x軸的交點為E點，過A′作拋物線對稱軸的垂線設垂足為F，可以用全等三角形APE和PA′F來求出A′的坐標）
②如圖：取C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，那么AC′與拋物線對稱軸的交點也符合P點的條件，此時三角形CPC′是等腰直角三角形，因此∠APA′是等腰直角三角形，那么此時P（1，-2），C（2，-3），A（-1，-4）．
（3）可將A、B坐標代入拋物線的解析式中，求出a、b，a、c的關系，然后將拋物線解析式中的b、c用a替換掉，進而可用a表示出C、D的坐標，然后分別求出三角形ACB和三角形ACD的面積即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、圖形面積的求法等知識點，綜合性強，難度較大．