如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)、B(﹣2,0)和點(diǎn)C(0,﹣8).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M,若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)K的坐標(biāo)為    ;

(3)連接AC,有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng),當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí),它們都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí),△OPQ的面積為S.

①請(qǐng)問(wèn)P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在PQ∥OC?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;

③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值,直接寫出S0的值.

 

【答案】

解:(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)、B(﹣2,0),

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x﹣6)。

∵圖象過(guò)點(diǎn)(0,﹣8),∴﹣8=a(0+2)(0﹣6),解得a=。

∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+2)(x﹣6),即。

(2)∵,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,)。

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣8),∴點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(0,8)。

∴直線C′M的解析式為:y=x+8。

令y=0得x+8=0,解得:x=。

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(,0)。

(3)①不存在PQ∥OC,

若PQ∥OC,則點(diǎn)P,Q分別在線段OA,CA上,此時(shí),1<t<2。

∵PQ∥OC,∴△APQ∽△AOC。

。

∵AP=6﹣3t,AQ=18﹣8t,∴,解得t=

∵t=>2不滿足1<t<2,∴不存在PQ∥OC。

②分三種情況討論如下,

情況1:當(dāng)0≤t≤1時(shí),如圖1,

S=OP•OQ=×3t×8t=12t2。

情況2:當(dāng)1<t≤2時(shí),如圖2,

作QE⊥OA,垂足為E,

S=OP•EQ=×3t×。

情況3:當(dāng)2<t<時(shí),如圖3,

作OF⊥AC,垂足為F,則OF=。

S=QP•OF=×(24﹣11t)×。

綜上所述,S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式

。

。

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)已知的與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式即可。

(2)根據(jù)(1)求得的函數(shù)的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo),然后求得點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)C′,從而求得直線C′M的解析式,求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可:

(3)①如果DE∥OC,此時(shí)點(diǎn)D,E應(yīng)分別在線段OA,CA上,先求出這個(gè)區(qū)間t的取值范圍,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理,求出此時(shí)t的值,然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍.如果符合則這個(gè)t的值就是所求的值,如果不符合,那么就說(shuō)明不存在這樣的t。

②本題要分三種情況進(jìn)行討論:

當(dāng)E在OC上,D在OA上,即當(dāng)0≤t≤1時(shí),此時(shí)S=OE•OD,由此可得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式;

當(dāng)E在CA上,D在OA上,即當(dāng)1<t≤2時(shí),此時(shí)S=OD×E點(diǎn)的縱坐標(biāo).由此可得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式;

當(dāng)E,D都在CA上時(shí),即當(dāng)2<t<相遇時(shí)用的時(shí)間,此時(shí)S=SAOE﹣SAOD,由此可得出S,t的函數(shù)關(guān)系式;

綜上所述,可得出不同的t的取值范圍內(nèi),函數(shù)的不同表達(dá)式。

③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值.

當(dāng)0≤t≤1時(shí),S=12t2,函數(shù)的最大值是12;

當(dāng)1<t≤2時(shí),S,函數(shù)的最大值是;

當(dāng)2<t<,S=QP•OF,函數(shù)的最大值不超過(guò)

。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,3)、B(4,0)和原點(diǎn)O.P為二次函數(shù)圖象上精英家教網(wǎng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D(m,0),并與直線OA交于點(diǎn)C.
(1)求出二次函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí),求線段PC的最大值;
(3)當(dāng)m>0時(shí),探索是否存在點(diǎn)P,使得△PCO為等腰三角形,如果存在,求出P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•呼和浩特)如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)、B(-2,0)和點(diǎn)C(0,-8).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M,若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)K的坐標(biāo)為
6
7
,0)
6
7
,0)
;
(3)連接AC,有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng),當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí),它們都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí),△OPQ的面積為S.
①請(qǐng)問(wèn)P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在PQ∥OC?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值,直接寫出S0的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•常德)如圖,已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,-3),B(
3
,
3
),對(duì)稱軸為直線x=-
1
2
,點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,在四邊形PMON上分別截取PC=
1
3
MP,MD=
1
3
OM,OE=
1
3
ON,NF=
1
3
NP.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)求證:以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形CDEF是平行四邊形;
(3)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形CDEF為矩形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2,0)、B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D(0,4).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求四邊形ACBD的面積?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)的圖象(0≤x≤3.4),關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi),下列說(shuō)法正確的是( 。

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