Question

如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則P′A：PB=（ ）

A．1：
B．1：2
C．：2
D．1：

Answer 1

【答案】分析：連接AP，根據(jù)同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=CP′，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用PA′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍，代入整理即可得解．
解答：解：如圖，連接AP，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設(shè)P′A=x，則AP=3x，
根據(jù)勾股定理，PP′===2x，
∴PP′=PB=2x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B長(zhǎng)度的倍轉(zhuǎn)化到同一個(gè)直角三角形中是解題的關(guān)鍵．