Question

（2007•襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（0，4）為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點(diǎn)A，AB是⊙C的切線．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從O點(diǎn)開始沿x軸正方向以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動，且動點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=1時，得到P₁、Q₁兩點(diǎn)，求經(jīng)過A、P₁、Q₁三點(diǎn)的拋物線解析式及對稱軸l；
（2）當(dāng)t為何值時，直線PQ與⊙C相切并寫出此時點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線對稱軸l上存在一點(diǎn)N，使NP+NQ最小，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出t=1時，AP和OQ的長，即可求得P₁，Q₁的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式．進(jìn)而可求出對稱軸l的解析式．
（2）當(dāng)直線PQ與圓C相切時，連接CP，CQ則有Rt△CMP∽Rt△QMC（M為PG與圓的切點(diǎn)），因此可設(shè)當(dāng)t=a秒時，PQ與圓相切，然后用a表示出AP，OQ的長即PM，QM的長（切線長定理）．由此可求出a的值．
（3）本題的關(guān)鍵是確定N的位置，先找出與P點(diǎn)關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)，連接P′Q，那么P′Q與直線l的交點(diǎn)即為所求的N點(diǎn)，可先求出直線P′Q的解析式，進(jìn)而可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意得A、P₁、Q₁的坐標(biāo)分別為A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）（1分）
設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx+c
則
∴a=-，b=，c=8
∴所求拋物線為y=-x²++8
對稱軸為直線l：x=；

（2）設(shè)t=a時，PQ與⊙C相切于點(diǎn)M
連接CP、CM、CQ，則PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽Rt△QMC
∴即
∴a=±2
由于時間a只能取正數(shù)，
所以a=2
即當(dāng)運(yùn)動時間t=2時，PQ與⊙C相切
此時：P（2，8），Q（8，0）；

（3）點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P（-1，8）
則直線PQ的解析式為：y=
當(dāng)x=時，y=-×+==．
因此N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切線長定理等知識點(diǎn)．