Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點(diǎn)，BC交⊙O于D點(diǎn)，CD=BD，∠C=70°，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：
①∠A=45°；②AC=AB；③=；④CE•AB=2BD²
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：連接AD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD垂直于BC，再由D為BC的中點(diǎn)，利用線段垂直平分線定理得到AC=BC，故②正確，再利用等邊對等角得到∠B=∠C，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，即可對于①作出判斷；連接ED，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，得到兩對角線段，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形CDE與三角形ABC相似，由相似得比例，即可對于④中的式子作出判斷；連接OE，OE不一定與AB垂直，故弧AE不一定等于弧BE，即可得到正確的選項(xiàng)．
解答：解：連AD，ED，OE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，故選項(xiàng)②正確；
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，故選項(xiàng)①錯誤；
∵四邊形AEDB為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CED=∠B，∠CDE=∠BAC，
∴△CDE∽△CAB，
∴=，即CA•CE=CD•CB，
又CA=AB，CD=BD=BC，
則CE•AB=2BD²，故選項(xiàng)④正確；
而EO不一定垂直于AB，故選項(xiàng)③錯誤，
則其中正確的有2個．
故選B
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．