Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點F在CD上，點O是BF的中點，以BF為直徑的半圓與AD相切于點E．
（1）求證：點E是AD的中點；
（2）設BF=5，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵以BF為直徑的半圓與AD相切于點E，
∴OF⊥AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴OE∥AB∥DF，
∵OB=OF，
∴AE=DE，
即點E是AD的中點；

（2）解：設正方形ABCD的邊長為x，
則AB=BC=CD=AD=x，
∵BF=5，
∴OE=，
∵OE=（AB+DF），
∴DF=5-x，
∴CF=CD-DF=2x-5，
在Rt△BCF中，BF²=BC²+CF²，
即5²=x²+（2x-5）²，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴正方形ABCD的邊長為4．
分析：（1）首先連接OE，由切線的性質，易證得OE∥AB∥DF，由于OB=OF，即可證得點E是AD的中點；
（2）首先設正方形ABCD的邊長為x，根據(jù)梯形中位線的性質，可表示出DF的長，即而表示出CF的長，由勾股定理即可求得方程：5²=x²+（2x-5）²，解此方程即可求得答案．
點評：此題考查了切線的性質、梯形的中位線的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．