Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）由AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于E，根據(jù)垂徑定理的即可求得CE=ED，

CB

=

DB

，然后由圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)，即可證得：∠ACO=∠BCD．
（2）由勾股定理可求得BC的長，易證得△CBE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得⊙O的直徑．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，

CB

=

DB

，
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD；

（2）解：∵CE=ED=4，
方法一：在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=5．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠BEC=90°．
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC，
∴

BC

BE

=

AB

BC

．
∴AB=2R=

25

3

．

方法二：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB-EB=R-3
在Rt△CEO中，由勾股定理可：OC²=OE²+CE²，
即：R²=（R-3）²+4²，
解得 R=

25

6

，
∴2R=2×

25

6

=

25

3

．
答：⊙O的直徑為

25

3

．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．