【答案】
分析:(1)作輔助線,利用中位線定理求解,
(2)先假設(shè),通過作圖輔助驗(yàn)證,然后一步步得出結(jié)論,再由所得出的結(jié)論找出a、b、c、d之間的關(guān)系,再進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證,即證明結(jié)論正確.題中直線l移動(dòng)至與平行四邊形ABCD相交,存在多種情況,
①當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)中一個(gè)頂點(diǎn)在直線的一側(cè)(不妨設(shè)是D)而另外三個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè);
②當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)在一側(cè)(不妨設(shè)A,D),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè);
③當(dāng)直線只過某一頂點(diǎn),(設(shè)過頂點(diǎn)A,點(diǎn)D在直線的一側(cè),B,C在直線的另一側(cè));
④當(dāng)直線與對(duì)角線重合時(shí)(不妨設(shè)是AC)
然后再對(duì)每一種情況進(jìn)行分析.
解答:解:(1)如圖所示,連AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OP⊥L于P,
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由題意可得,OP為AA
1CC
1的中位線,∴a+c=2OP,
同理,b+d=2OP,∴a+c=b+d.
(2)當(dāng)直線l移動(dòng)至與平行四邊形ABCD相交時(shí),上述關(guān)系不成立,以下幾種情況說明:
①當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)中一個(gè)頂點(diǎn)在直線的一側(cè)(不妨設(shè)是D)而另外三個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè),則有b=a+c+d.
證明:如圖所示,
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由(1)可知,a+c=2OP,連DB
1,過點(diǎn)O作OP⊥L于P,交DB
1于Q,
則OQ為△DBB
1的中位線,故OQ=
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=

,同理,PQ=
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,
所以O(shè)P=OQ-PQ=

,即,b-d=2OP,
所以a+c=b-d
即b=a+c+d.
②當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)在一側(cè)(不妨設(shè)A,D),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè),則有a+b=c+d.
證明:如圖所示,在①中有b-d=2OP,連接AC
1,延長(zhǎng)OP交AC
1于R,
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則PR為△AA
1C
1的中位線,故PR=
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=
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,同理,OR=
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,所以O(shè)P=OR-PR=

,即c-a=2OP,
所以,c-a=b-d,
即a+b=c+d.
③當(dāng)直線只過某一頂點(diǎn),(設(shè)過頂點(diǎn)A,點(diǎn)D在直線的一側(cè),B,C在直線的另一側(cè))則b=d+2c
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④當(dāng)直線與對(duì)角線重合時(shí)(不妨設(shè)是AC)則b=d.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì),能夠運(yùn)用三角形中位線定理,會(huì)通過建立等效平衡找出幾個(gè)不同量之間的關(guān)系.