Question

（2009•遂寧）如圖，二次函數的圖象經過點D（0，），且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了頂點的橫坐標，可用頂點式來設二次函數的解析式如：y=a（x-4）²+k，根據二次函數過點（0，），可得出=16a+k；由于A、B關于x=4對稱，且AB=6，不難得出A、B的坐標為（1，0），（7，0），可將它們的坐標代入解析式中即可求出a、k的值．
（2）本題的關鍵是確定P的位置，由于對稱軸垂直平分AB，因此P不論在對稱軸的什么位置都有PA=PB，連接DB，如果P是交點時，PA+PD的長就是BD的長，兩點之間線段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點．可根據B、D的坐標求出BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點．即可得出P點的坐標．
（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角形．要分兩種情況進行討論：
①當Q在x軸下方時，Q，C重合，Q點的坐標就是C點的坐標．
②當Q在x軸上方時，應該有兩個符合條件的點，拋物線的對稱軸左右兩側各一個，且這兩點關于拋物線的對稱軸相對稱．因此只需求出一點的坐標即可．以AQ=AB為例：可過Q作x軸的垂線，在構建的直角三角形中，根據BQ即AB的長以及∠QBx的度數來求出Q的坐標．然后根據對稱性求出另外一點Q的坐標．
解答：解：（1）設二次函數的解析式為：y=a（x-h）²+k
∵頂點C的橫坐標為4，且過點（0，）
∴y=a（x-4）²+k，=16a+k①
又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=，k=-
∴二次函數的解析式為：y=（x-4）²-

（2）∵點A、B關于直線x=4對稱
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴當點P在線段DB上時PA+PD取得最小值
∴DB與對稱軸的交點即為所求點P
設直線x=4與x軸交于點M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴點P的坐標為（4，）

（3）由（1）知點C（4，），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①當點Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，則∠QBN=60°
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此時點Q（10，），
如果AB=AQ，由對稱性知Q（-2，）
②當點Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，
此時點Q的坐標是（4，），
經檢驗，點（10，）與（-2，）都在拋物線上
綜上所述，存在這樣的點Q，使△QAB∽△ABC
點Q的坐標為（10，）或（-2，）或（4，）．
點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的性質等知識點．要注意（2）中確定P點位置的方法．在（3）中不確定Q位置的情況下要分類進行討論，不要漏解．