Question

（2013•六盤(pán)水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．
（2）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）線(xiàn)段OB與拋物線(xiàn)交與點(diǎn)E，點(diǎn)P為線(xiàn)段OE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，點(diǎn)E重合），過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，問(wèn)：在線(xiàn)段OE上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PD=CM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AO的長(zhǎng)和∠BOA的度數(shù)，可求得OB的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過(guò)C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長(zhǎng)求得CD、OD的值，從而求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，將A、C、O的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線(xiàn)的解析式．
（2）求出直線(xiàn)BO的解析式，進(jìn)而利用x=

3

求出y的值，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）所得拋物線(xiàn)的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)（即C點(diǎn)），設(shè)直線(xiàn)MP與x軸的交點(diǎn)為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過(guò)M作MF⊥CD（即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸）于F，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)，易求得CF、QD的長(zhǎng)，聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，
∴OB=

cos30°

AO

=4，AB=2；
由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3）．
∵O點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），
∴拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx（a≠0），
∵圖象經(jīng)過(guò)C（

3

，3）、A（2

3

，0）兩點(diǎn)，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得

a=-1 b=2 3

；
∴此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2

3

x．

（2）∵AO=2

3

，AB=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2

3

，2），
∴設(shè)直線(xiàn)BO的解析式為：y=kx，
則2=2

3

k，
解得：k=

3

3

，
∴y=

3

3

x，
∵y=-x²+2

3

x的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-

b

2a

=-

2 3

2×(-1)

=

3

，
∴將兩函數(shù)聯(lián)立得出：y=

3

3

×

3

=1，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（

3

，1）；

（3）存在．
∵y=-x²+2

3

x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），
即為點(diǎn)C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），F(xiàn)（

3

，-3t²+6t），
同理：Q（

3

，t），D（

3

，1）；
要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t²+6t）=|t-1|，
解得t=

4

3

，t=1（舍），t=

2

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

），或（

2 3

3

，

2

3

），
∴存在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)，使得PD=CM，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

）或（

2 3

3

，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識(shí)點(diǎn)，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)利用CF=QD求出是解題關(guān)鍵．