Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若過(guò)A點(diǎn)且與BC平行的直線交BE的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連接CG．當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，可得DF⊥OD，故得到證明；
（2）根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，可得BG是AC的垂直平分線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得△ACG是等邊三角形，故∠AGC=60°．
解答：（1）證明：連接AD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC．（2分）
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，（4分）
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BG是AC的垂直平分線，
∴GA=GC．（7分）
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等邊三角形．
∴∠AGC=60°．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定，及角度的大小的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．