Question

（2012•泰順縣模擬）直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=3，邊BC，AB分別在x軸和y軸上，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（4，0）．動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC方向作勻速直線運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以與P點(diǎn)相同的速度沿DA方向運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，
（1）求線段CD的長．
（2）連接PQ交直線AC于點(diǎn)E，當(dāng)AE：EC=1：2時，求t的值，并求出此時△PEC的面積．
（3）過Q點(diǎn)作垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接PM，
①是否存在某一時刻，使以M、P、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②當(dāng)t=

1

時，點(diǎn)P、M、D在同一直線上．（直接寫出）

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC與F，可得四邊形ABFD是正方形，然后求出DF=AB，BF=AD，再求出FC，再根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計算即可求出CD；
（2）用t表示出AQ、CP，再根據(jù)AD∥BC求出△AQE和△CPE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計算求出t的值，再求出PC的長以及點(diǎn)E到PC的距離，然后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計算即可得解；
（3）①先用t表示出MC、PC，然后分PC=MC，MP=MC，MP=PC三種情況，分別根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)列出方程求解即可得到相應(yīng)的t值；
②用t表示出QD、PN，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可得到t的值．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC與F，
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB=AD=3，
∴四邊形ABFD是正方形，
∴DF=AB=3，BF=AD=3，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（4，0），
∴OC=4，
∴FC=BC-BF=4-3=1，
∴CD=

DF2+FC2

=

32+12

=

10

；

（2）∵P、Q的速度都是每秒1個單位，
∴AQ=3-t，CP=4-t，
∵AD∥BC，
∴△AQE∽△CPE，
∴

AQ

PC

=

AE

EC

=

1

2

，
即

3-t

4-t

=

1

2

，
解得t=2，
∴PC=BC-BP=4-2=2，
∵AE：EC=1：2，
∴點(diǎn)E到BC的距離為

2

1+2

AB=

2

3

×3=2，
∴S_△PEC=

1

2

×2×2=2；

（3）①存在．
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
CN=BC-BN=4-（3-t）=1+t，
cos∠ACB=

CN

MC

=

BC

AC

，
即

1+t

MC

=

4

5

，
解得MC=

5

4

（1+t），
PC=BC-BP=4-t，

如圖1，若MP=MC，則PN=CN，
∴（3-t）-t=1+t，
解得t=

2

3

；
如圖2，若PC=MC，則4-t=

5

4

（1+t），
解得t=

11

9

；
如圖3，若MP=MC，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，
則cos∠ACB=

CG

CP

=

BC

AC

，
即

1 2 × 5 4 (1+t)

4-t

=

4

5

，
解得t=

103

57

；
綜上所述，t為

2

3

秒或

11

9

秒或

103

57

時，以M、P、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P、M、D在同一直線上時，∵AD∥BC，
∴△DQM∽PNM，△ADM∽△CPM，
∴

DQ

PN

=

DM

PM

，

DM

PM

=

AD

CP

，
∴

DQ

PN

=

AD

CP

，
∵PN=BN-BP=AQ-BP=3-t-t=3-2t，
∴

t

3-2t

=

3

4-t

，
整理得，t²-10t+9=0，
解得t₁=1，t₂=9（舍去），
所以，t=1時，點(diǎn)P、M、D在同一直線上．

點(diǎn)評：本題是相似形綜合題，主要考查了直角梯形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，（3）①要根據(jù)等腰三角形的腰長分情況討論，②根據(jù)兩對相似三角形的過渡量

DM

PM

得到比例式是解題的關(guān)鍵．