Question

（2010•邢臺(tái)一模）在圖1-3中，四邊形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：DM=MF；
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置，此時(shí)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上．求證：DM=MF；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將正方形CGEF繞點(diǎn)C在任一旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3位置，此時(shí)DM和MF還相等嗎？（不必說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)DM到N，證明△AMD≌△EMN，得到DM=MN，M為直角三角形DFN的斜邊DN中點(diǎn)，得到2FM=DN，MF=MD；
（2）延長(zhǎng)DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線(xiàn)段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系．
（3）旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△AMD≌△EMN仍然成立，故結(jié)論仍成立．

解答：解：（1）MD=MF
證明：延長(zhǎng)DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠MAD=∠NEM．
又∵M(jìn)A=ME，∠AMD=∠NME，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=MN，
∴M為直角三角形DFN的中點(diǎn)，
∴2FM=DN
∴MF=MD．


（2）延長(zhǎng)DM到N，
使MN=MD，連接FD、FN、EN，
延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H．
∵M(jìn)A=ME，∠AMD=∠EMN，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠DAM=∠MEN，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠DAM=∠MEN，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠HIC=∠GIE，
∴∠HCI=∠IEG．
∵∠HCI+∠DCF=∠IEG+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．

（3）相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)--旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．