Question

    已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

（1）（4分）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；

（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．

    ①（4分）猜想驗(yàn)證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

    ②（6分）拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：如圖I，分別連接OE、0F

 ∵四邊形ABCD是菱形

 ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC

  ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

   ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

  又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)

   ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD

  ∴0E=OF=OA   ∴點(diǎn)O即為△AEF的外心。

  （2）①猜想：外心P一定落在直線DB上。

  證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°

∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°

∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，

∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA

∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ

∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上。

②為定值2.

當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，

此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．

連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）

可得點(diǎn)P即為△AEF的外心

解法一：如圖3．設(shè)MN交BC于點(diǎn)G

設(shè)DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，則 CN=

∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．

∴

∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

∴，∴

∴

∴，即

其它解法略。