Question

如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點（不與A、C重合），PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．
（1）求證：BP=DP；
（2）如圖2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性質可證△ABP≌△ADP，即BP=DP；
（2）當四邊形PECF的點P旋轉到BC邊上時，DP＞DC＞BP，此時BP=DP不成立；
（3）由旋轉的性質和正方形的性質可證△BEC≌△DFC，即BE=DF．
解答：（1）證明：
證法一：在△ABP與△ADP中，
∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP．（2分）
證法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP．（2分）

（2）解：不是總成立．（3分）
當四邊形PECF的點P旋轉到BC邊上時，DP＞DC＞BP，此時BP=DP不成立，（5分）
說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

（3）解：連接BE、DF，則BE與DF始終相等，
，
在圖1中，由正方形ABCD可證：
AC平分∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE=PF，∠BCD=90°，
∴四邊形PECF為正方形．（7分）
∴CE=CF，
∵∠DCF=∠BCE，
BC=CD，
∴△BEC≌△DFC，
∴BE=DF．（8分）
點評：本題考查了旋轉的性質和全等三角形的判定，以及正方形的性質．