Question

已知：二次函數(shù)y=ax²-（b-1）x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（4，10），交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（x₁＜x₂），交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3OA=OB．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角∠MCO＞∠ACO？若存在，請你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

解：（1）∵P（4，10）在圖象上，
∴16a-4（b-1）-3a=10①；
∵圖象交y軸負(fù)半軸于C，
∴-3a＜0，
∴a＞0，x₁x₂==-3＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，x₂=-3x₁
x₁+x₂=x₁+（-3x₁）=-2x₁=-，x₁x₂=-3x₁²=-3，
∴x₁²=1，又x₁＜0，
∴x₁=-1，
∴x₂=3，
∴b-1=2a②，
聯(lián)立①②解得：a=2，b=5，
∴y=2x²-4x-6；

（2）存在點(diǎn)M，使∠MCO＞∠ACO，A點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)A′（1，0），
設(shè)直線A′C為y=kx+b，由于直線A′C過（1，0），（0，-6），則有：
，
解得．
∴y=6x-6，聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，
即直線A′C與拋物線交點(diǎn)為（0，-6），（5，24），
當(dāng)y=-6時，即2x²-4x-6=-6，
解得：x₁=0，x₂=2，
∵∠MCO是銳角，
∴符合題意的x的取值范圍是-1＜x＜0或2＜x＜5．
分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理和3OA=OB可得出一個關(guān)于a、b的等量關(guān)系式，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中可得出另一個a、b的關(guān)系式，聯(lián)立兩個式子即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了拋物線的解析式；
（2）如圖，取A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，那么∠A′CO=∠ACO，如果設(shè)直線A′C與拋物線的交點(diǎn)為N點(diǎn)話，那么如果使∠MCO＞∠A′CO，那么必須滿足的條件為M的橫坐標(biāo)在A的橫坐標(biāo)與N的橫坐標(biāo)之間，據(jù)此可求出M橫坐標(biāo)的取值范圍（M的橫坐標(biāo)不能為0，否則構(gòu)不成銳角∠MCO）．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、韋達(dá)定理的應(yīng)用、軸對稱圖形、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識．