Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數y=x²+mx+2的圖象經過點A，B，頂點為D．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數圖象沿y軸向上或向下平移后經過點C．請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數解析式；
（3）設（2）中平移后所得二次函數圖象與y軸的交點為B₁，頂點為D₁．點P在平移后的二次函數圖象上，且滿足△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數y=x²+mx+2的圖象經過點B，可得B點坐標為（0，2），再根據tan∠OAB=2求出A點坐標，將A代入解析式即可求得函數解析式；
（2）根據旋轉不變性可輕松求得C點坐標，由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，設出解析式，代入C點作標即可求解；
（3）由于P點位置不固定，由圖可知要分①當點P在對稱軸的右側時，②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，③當點P在y軸的左側時，三種情況討論．
解答：解：（1）由題意，點B的坐標為（0，2），（1分）
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即=2．
∴OA=1．
∴點A的坐標為（1，0）．（2分）
又∵二次函數y=x²+mx+2的圖象過點A，
∴0=1²+m+2．
解得m=-3，（1分）
∴所求二次函數的解析式為y=x²-3x+2．（1分）

（2）作CE⊥x軸于E，
由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得點C的坐標為（3，1）．（2分）
由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，
設出解析式為y=x²-3x+c，代入C點作標得1=9-9+c，c=1，
所求二次函數解析式為y=x²-3x+1．（1分）

（3）由（2），經過平移后所得圖象是原二次函數圖象向下平移1個單位后所得的圖象，
那么對稱軸直線x=不變，且BB₁=DD₁=1．（1分）
∵點P在平移后所得二次函數圖象上，
設點P的坐標為（x，x²-3x+1）．
在△PBB₁和△PDD₁中，∵S_△PBB1=2S_△PDD1，
∴邊BB₁上的高是邊DD₁上的高的2倍．
①當點P在對稱軸的右側時，x=2（x-），得x=3，
∴點P的坐標為（3，1）；
②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，x=2（-x），得x=1，
∴點P的坐標為（1，-1）；
③當點P在y軸的左側時，x＜0，又-x=2（-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求點P的坐標為（3，1）或（1，-1）．（3分）
點評：此題是一道中考壓軸題，將解直角三角形、圖形的旋轉和平移以及點的存在性的探索等問題結合起來，考查了綜合應用各種知識解題的能力，思維跳躍較大，有一定難度．