Question

如圖，圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑．

Answer 1

分析：此題的關(guān)鍵是找到這一條最短的路徑，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求，利用底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)可求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理求出弦的長(zhǎng)度．

解答：解：把圓錐沿過點(diǎn)A的母線展成如圖所示扇形，
則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為AA′（線段）．

由此知：OA=OA′=3r，

ADA′

的長(zhǎng)即為圓錐的底面周長(zhǎng)為2πr．
∴2πr=

nπ•3r

180

，n=120°，
即∠AOA′=120°，∠OAC=30度．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴OC=

1

2

OA=

3

2

r．
∴AC=

OA2-CO2

=

3

2

3

r．
∴AA′=2AC=3

3

r，
即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是3

3

r．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是找到這一條最短的路徑，并熟悉圓錐的展開圖，根據(jù)已知的條件求弦長(zhǎng)．