Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，線段AC的垂直平分線交AC于D點，交BC于E點，過點A作BC的平行線交直線ED于F點，連接AE，CF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=10，∠ACB=30°，求菱形AECF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）．

【解析】（1）證明：∵ EF垂直平分AC，

∴ FA=FC，EA=EC，

∵ AF∥BC，

∴ ∠1=∠2．

∵ AE=CE，

∴ ∠2=∠3．

∴ ∠1=∠3．

∵ EF⊥AC，

∴ ∠ADF=∠ADE=90°．

∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°．

∴ ∠4=∠5．

∴ AF=AE．

∴ AF=FC=CE=EA．

∴ 四邊形AECF是菱形．

（2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°，

∴AB∥FE．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形．

∵AB=10，

∴FE=AB=10．

∵∠ACB=30°，

∴．

∴．