
解:(1)把點(diǎn)

代入y=a(x-1)
2+9得:

,
∴

,
答:a的值是-

.
(2)答:點(diǎn)B是在拋物線上.
理由是:把

代入y=a(x-1)
2+9,得:
拋物線的解析式為:

,頂點(diǎn)A(1,9),
作AB⊥直線y=x,垂足為B,依題意得:C(1,1),
∴△ODC是等腰直角三角形,

,
∴∠OCD=∠ACB=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
在Rt△ABC中,AC=9-1=8,

,
∴

,
作BT⊥x軸于點(diǎn)T,在Rt△OBT中,

,
∴B(5,5),
把點(diǎn)B(5,5)代入

,左邊=5,右邊=

,
∴左邊=右邊,
∴B(5,5)在拋物線

上.
(3)解:由(2)得△ABC是等腰直角三角形,

,
又AB⊥直線y=x,即點(diǎn)A到直線y=x的距離為

,
即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),⊙P與直線y=x相切,
∵點(diǎn)P(1,9)到x軸的距離為9,

,
∴⊙P與x軸相離,
故點(diǎn)P
1(1,9)符合題意,
①當(dāng)⊙P在直線y=x的左上方時(shí),
設(shè)過點(diǎn)A(1,9)且平行于直線y=x的直線l的解析式為:y=x+b,
∴9=1+b,
∴b=8,
∴直線l的解析式為:y=x+8,
∵直線l平行直線y=x,AB⊥直線l,

,
∴直線l到直線y=x的距離為

,
則點(diǎn)P可能在直線l上,故設(shè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x+8),
把點(diǎn)P(x,x+8)代入

,解得:x=1或x=-3,
∴P
1(1,9)或P
2(-3,5),
∵P
2(-3,5)到x軸的距離為5,

,
∴⊙P
2與x軸相交,
∴點(diǎn)P
2不符合題意,舍去;
②當(dāng)⊙P在直線y=x的右下方時(shí),根據(jù)圖形的對稱性,同理可得:
距離為

且平行于直線y=x的直線l'的解析式為:y=x-8,
∴點(diǎn)P可能在直線l'上,故設(shè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x-8),
把點(diǎn)P(x,x-8)代入

,解得:

或

,
∴

或

,
∵

到x軸的距離為

,
∴⊙P
3與x軸相交,故點(diǎn)P
3不合題意,舍去.
∵

到x軸的距離為

,
∴⊙P
4與x軸相離
綜合上述:符合條件的點(diǎn)P共有2點(diǎn),它們的坐標(biāo)分別是(1,9)、

.
答:設(shè)點(diǎn)P是該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),存在半徑為

的⊙P,且⊙P既與直線y=x相切又與x軸相離,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,9),(-1-2

,-9-2

).
分析:(1)把點(diǎn)

代入y=a(x-1)
2+9求出即可;
(2)把

代入y=a(x-1)
2+9,求出拋物線的解析式和頂點(diǎn)A的坐標(biāo),作AB⊥直線y=x,垂足為B,得出C(1,1),推出△ODC、△ABC是等腰直角三角形,求出

,作BT⊥x軸于點(diǎn)T,求出OT,得出B(5,5),把點(diǎn)B(5,5)代入

看左邊、右邊是否相等即可;
(3)由(2)得出

,點(diǎn)A到直線y=x的距離為

,推出⊙P與直線y=x相切、⊙P與x軸相離,①當(dāng)⊙P在直線y=x的左上方時(shí),設(shè)過點(diǎn)A(1,9)且平行于直線y=x的直線l的解析式為:y=x+b,代入求出直線l的解析式,推出點(diǎn)P可能在直線l上,故設(shè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x+8),
把點(diǎn)P(x,x+8)代入

,求出即可;②當(dāng)⊙P在直線y=x的右下方時(shí),根據(jù)圖形的對稱性,同理可得直線l'的解析式,設(shè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x-8),把點(diǎn)P(x,x-8)代入

求出即可.
點(diǎn)評:本題主要考查對解一元二次方程,等腰直角三角形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,直線與圓的位置關(guān)系,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.