Question

【題目】如圖，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分線，∠ABC 的平分線 BM 交 AE 于點(diǎn) M，點(diǎn) O在 AB 上，以點(diǎn)O 為圓心，OB 的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn)G，交 AB 于點(diǎn) F．

（1）求證：AE 為⊙O 的切線．

（2）當(dāng) BC=8，AC=12 時(shí)，求⊙O 的半徑．

（3）在（2）的條件下，求線段 BG 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）3（3）2

【解析】分析：（1）連接OM.利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM，后即可證得AE是的切線；
（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質(zhì)得到

，即可解得 ,的半徑為3；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH，根據(jù)得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2.

詳解：(1)證明：連接OM.

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC,

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是的切線；

(2)設(shè)的半徑為r，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴即，

解得

∴的半徑為3；

(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH，

∵

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，

∴BH=1，

∴BG=2BH=2.