Question

閱讀下列材料：
某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（4²+1）時(shí)，把3寫(xiě)成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受啟發(fā)，后來(lái)在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）的值時(shí)，又改造此法，將乘積式前面乘以1，且把1寫(xiě)為2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：(1+

1

2

)(1+

1

22

)(1+

1

24

)(1+

1

28

)+

1

215

；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式計(jì)算：(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)．

Answer 1

分析：（1）在前面乘一個(gè)2×（1-

1

2

），然后再連續(xù)利用平方差公式計(jì)算；
（2）把每個(gè)因式逆用平方差公式分解，然后根據(jù)乘法結(jié)合率和有理數(shù)的乘法計(jì)算即可．

解答：解：（1）原式=2（1-

1

2

）（1+

1

2

）…（1+

1

28

）+

1

215

，
=2（1-

1

216

）+

1

215

，
=2-

1

215

+

1

215

，
=2；

（2）(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)，
=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

10

）（1+

1

10

），
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×…×

9

10

×

11

10

，
=

1

2

×

11

10

，
=

11

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平方差公式的運(yùn)用，（1）添加2×（1-

1

2

）是解題的關(guān)鍵，（2）利用平方差公式拆項(xiàng)后前一項(xiàng)與后一項(xiàng)出現(xiàn)倒數(shù)是解題的關(guān)鍵，計(jì)算中有時(shí)利用公式求解運(yùn)算更加簡(jiǎn)便．