Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，E是AB上的一點，延長BC到F使CF=AE，把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得到△ABH，AH交DE于點G．
求證：AH⊥DE．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=DC，∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠DAB=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△DCF，
∵把△DCF向左平移得到△ABH，
∴△ABH≌△DCF，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠ADE=∠BAH，
∵∠BAH+∠GAD=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠GAD=90°，
∴∠AGD=180°-（∠ADE+∠GAD）=90°，
∴AH⊥DE．
分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD=DC，∠DAB=∠BCD=90°，根據(jù)SAS證△ADE≌△DCF，根據(jù)平移性質(zhì)得出△ABH≌△DCF，推出△DAE≌△ABH，求出∠ADE=∠BAH，求出∠ADE+∠GAD=90°，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AGD=90°，根據(jù)垂線定義得出即可．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線，平移的性質(zhì)等知識點的運用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)這些性質(zhì)求出∠ADE+∠GAD=90°，題目綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．