Question

如圖在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，） ，△AOB的面積是.

（1）求點B的坐標；

（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最�。咳舸嬖�，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；

     （4）在（2）中軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形．使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由題意得:

∴B（－2，0）                                  

       （2）設拋物線的解析式為y=ax(x+2)，代入點A（1, ），得，

∴                           

 

（3）存在點C.過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線的對稱軸x= - 1交x軸于點E.當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△AOC的周長最小.

∵  △BCE∽△BAF,

                                              

（4）存在. 如圖，設p(x,y)，直線AB為y=kx+b,則

               ，

            ∴直線AB為，

 =  |OB||Y_P|+|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|

               =.

∵S_△AOD= S_△AOB-S_△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x₁=-  , x₂=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S_△BOD =x+,

∴ == .

∴x₁=- ,    x₂=-2.

P(-2,0)，不符合題意.

∴ 存在，點P坐標是（-，-）.