Question

（2005•泰安）某“研究性學(xué)習(xí)小組”遇到了以下問(wèn)題，請(qǐng)參與：
已知，△ABC是等邊三角形且內(nèi)接于⊙O，取上異于A、B的點(diǎn)M．設(shè)直線CA與BM相交于點(diǎn)K，直線CB與AM相交于點(diǎn)N．

（1）如圖1，圖2，圖3，M分別為的中點(diǎn)、三分之一點(diǎn)、四分之一點(diǎn)，△ABC的邊長(zhǎng)均為2，分別測(cè)量出AK、BN的長(zhǎng)，計(jì)算AK•BN的值（精確到0.01）并將結(jié)果填入下表中：

	△ABC的邊長(zhǎng)	AK•BN的值
圖1	2
圖2	2
圖3	2

（2）如圖4，當(dāng)M為上任意一點(diǎn)時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)果，猜想AK•BN與AB的數(shù)量關(guān)系式為_(kāi)_____；
（3）對(duì)（2）中提出的猜想，依圖4給出證明．

Answer 1

【答案】分析：本題要求的實(shí)際是AK、BN與等邊三角形ABC邊長(zhǎng)的關(guān)系．可通過(guò)證△AKB與△BAN相似來(lái)求解．
解答：解：（1）4，4，4

（2）AK•BN=AB²

（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
∴AK•BN=AB²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)圓周角定理得出角相等從而證得三角形相似是解題的關(guān)鍵．