Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）.若FG=DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

Answer 1

（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

試題分析：（1）依據(jù)拋物線的解析式直接求得C的坐標(biāo)，令y=0解方程即可求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）求出矩形PQMN的周長(zhǎng)關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的解析式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出矩形PQMN的周長(zhǎng)時(shí)點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值，求出此時(shí)△AEM的面積.
（3）根據(jù)FG=DQ列關(guān)于點(diǎn)F橫坐標(biāo)的方程求解即可．
試題解析：（1）由拋物線的解析式令得，∴C（0，3）.
令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-3或x=1.∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）∵，∴對(duì)稱軸為x=-1.
設(shè)，其中.
∵點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a，
則，∴.∴.
∴
∴矩形PQMN的周長(zhǎng).
∴當(dāng)x=-2時(shí)，矩形PQMN的周長(zhǎng)d最大.
此時(shí) .
設(shè)直線AC的解析式為，則，解得.
∴直線AC的解析式為.
將x=-2代入，得y=1，∴.
∴.
（3）由（2）知，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，x=-2，
此時(shí)，，與點(diǎn)C重合，∴OQ=3.
由得.
如圖，過點(diǎn)D作DK⊥y軸于點(diǎn)K，則DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.
∴△DKQ是等腰直角三角形，.
∴.
設(shè)，則，
∴，解得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或（1，0）.