Question

（2006•鄂爾多斯）閱讀理解：
給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的2倍，則這個(gè)矩形是給定矩形的“加倍”矩形．如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形．請(qǐng)你解決下列問題：
（1）邊長(zhǎng)為a的正方形存在“加倍”正方形嗎？如果存在，求出“加倍”正方形的邊長(zhǎng)；如果不存在，說明理由．
（2）當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為m，n時(shí)，它是否存在“加倍”矩形？請(qǐng)作出判斷，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意：若兩個(gè)正方形是相似圖形，根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，面積比是相似比即周長(zhǎng)比的平方；故不存在“加倍”正方形；
（2）設(shè)“加倍”矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y，可得的關(guān)系，分析可得x，y就是關(guān)于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的兩個(gè)正根，判斷可得：△=m²+n²＞0，故存在“加倍”矩形．
解答：解：（1）不存在．
因?yàn)閮蓚�(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為2時(shí)，則面積比必定是4，所以不存在．
（相同解答均可給分，如：滿足周長(zhǎng)是2倍時(shí)，則面積就成了4倍，所以不存在）（4分）

（2）存在．（5分）
設(shè)“加倍”矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y．
則：．（7分）
x，y就是關(guān)于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的兩個(gè)正根．（8分）
∵△=[-2（m+n）]²-8mn=m²+n²（9分）．
當(dāng)m，n不同時(shí)為零時(shí)，此題中，m＞0，n＞0．
∴△=m²+n²＞0．（10分）
∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x和y（11分）
即：存在一個(gè)矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12分）
點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用所有正方形相似的特殊性質(zhì)；注意用根的判別式來判斷根的存在問題．