Question

如圖，A，B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A，B重合），我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動角

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點A、B的滑動角，

①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=      °；

②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；

（2）已知O₂是⊙O₁外一點，以O(shè)₂為圓心作一個圓與⊙O₁相交于A、B兩點，∠APB是⊙O₁上關(guān)于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

(1) ①90°②∠APB=135°

（2）∠APB=∠MAN-∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB－180°；

∠APB=180°－∠MAN－∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB

【解析】

試題分析：（1）①90°

②如圖，連接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB= ，∴OA²+OB²=AB²

∴∠AOB=90°。

當(dāng)點P在優(yōu)弧 AB 上時（如圖1），∠APB= ∠AOB=45°；

當(dāng)點P在劣弧 AB 上時（如圖2），

∠APB= （360°－∠AOB）=135°。

（2）根據(jù)點P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

第二種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。

第三種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。

第四種情況：點P在⊙O2內(nèi)，如圖6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

考點：圓周角定理；勾股定理逆定理；三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)

點評：難度中等，關(guān)鍵在于分類討論，區(qū)分點P在優(yōu)弧和劣弧上兩種情況討論。