Question

某小區(qū)有一長(zhǎng)100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖案如下，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m．預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)每平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50元．設(shè)每塊綠化區(qū)的長(zhǎng)邊為x m，短邊為y m，工程總造價(jià)為w元．
（1）寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）寫(xiě)出w與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如果小區(qū)投資46.9萬(wàn)元，問(wèn)能否完成工程任務(wù)？若能，請(qǐng)寫(xiě)出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

Answer 1

【答案】分析：本題是用函數(shù)解決實(shí)際中的面積問(wèn)題，造價(jià)問(wèn)題，根據(jù)題意可以列出y與x的一次函數(shù)關(guān)系，工程造價(jià)w與x二次函數(shù)關(guān)系，再利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
（1）由等量關(guān)系“活動(dòng)區(qū)出口的寬度+綠化區(qū)的長(zhǎng)的2倍=空地的長(zhǎng)”用x將寬度表示出來(lái)，再根據(jù)寬度的范圍求得x的取值范圍；
（2）由四周出口一樣寬可得“空地的長(zhǎng)-綠化區(qū)的長(zhǎng)的2倍=空地的寬-綠化區(qū)的寬的2倍”列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）由等量關(guān)系“總造價(jià)=綠化區(qū)的造價(jià)+活動(dòng)區(qū)的造價(jià)”列出函數(shù)關(guān)系式；
（4）將投資總額w代入函數(shù)關(guān)系式求值，分析工程方案．
解答：解：（1）∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25；

（2）由于四周出口一樣寬，100-2x=80-2y，即：y=x-10；

（3）w=4xy×50+（100×80-4xy）×60
=480000-40xy
=480000-40x（x-10）
∴w=-40x²+400x+480000；

（4）當(dāng)w=469000時(shí)
-40x²+400x+480000=469000
即x²-10x-275=0解得x₁=5+10，x₂=5-10
∵x＞0
∴x=5+10≈22.32
因?yàn)閤增大，綠化區(qū)面積會(huì)增大，從而活動(dòng)區(qū)面積會(huì)減小，工程總造價(jià)會(huì)降低，
所以整數(shù)x應(yīng)滿(mǎn)足22＜x≤25．
所以，能夠完成工程任務(wù)，符合條件的所有工程方案有如下三個(gè)：
①綠化區(qū)長(zhǎng)邊為23m，短邊為13m；
②綠化區(qū)長(zhǎng)邊為24m，短邊為14m；
③綠化區(qū)長(zhǎng)邊為25m，短邊為15m．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中一次函數(shù)、二次函數(shù)的求法，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．