Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，且∠EAF=45°，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，落在△ADG的位置．
（1）請在圖中畫出△ADG；
（2）證明：∠GAF=45°；
（3）求點A到EF的距離AH．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB=AD，∠BAD=90°，得到△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，AB與AD重合，DG在CG的延長線上，且DG=BE，即可畫出△ADG；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠EAG=∠BAD=90°，而∠EAF=45°，所以∠GAF=∠EAG-∠EAF=45°；
（3）由△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADG，得到AE=AG，易證△GAF≌△EAF，則AH=AD，即可得到點A到EF的距離AH．
解答：解：（1）∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，AB與AD重合，DG在CG的延長線上，
如圖，畫出△ADG；

（2）在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADG，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
又∵∠EAF=45°
∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=45°；

（3）∵△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADG
∴AE=AG，
又∵∠EAF=∠GAF=45°，AF=AF
∴△GAF≌△EAF，
又∵AD和AH分別是△GAF和△EAF的對應(yīng)高
∴AH=AD=5，
即A到EF的距離AH為5．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．