Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°，動點M從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)，沿C→D→A，以同樣速度向終點A運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）求線段BC的長度；
（2）求在運動過程中形成的△MCN的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，△MCN的面積S最大，并求出最大面積；
（3）試探索：當M，N在運動過程中，△MCN是否可能為等腰三角形？若可能，則求出相應的t值；若不可能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，進而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的長即可得出答案；
（2）首先利用當0≤t≤5時，得出△NGC∽△DFC進而得出，再利用當5≤t≤8時得出s與t的關系式求出即可；
（3）從當MC=NC時，當MN=NC時，當MN=MC時，分別分析得出即可．
解答：解：（1）如圖1，
分別過A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分別交BC于E，F(xiàn)；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）

（2）①如圖2，
當0≤t≤5時，CN=BM=t，
MC=10-t；
過N作NG⊥于BC于點G；∴△NGC∽△DFC
∴，即；
∴NG=；
∴S=；
∵，函數(shù)開口向下；
∴當時，S_max=10；（5分）
②如圖3，
當5≤t≤8時，S=；
∵-2＜0，即S隨t的減小而增大；
∴當t=5時，S_max=10；（6分）
綜上：，
當t=5時，△MCN的面積S最大，最大值為10；

（3）當0≤t≤5時：CN=BM=t，MC=10-t；
①當MC=NC時，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②當NM=NC時，如圖4，
過N作NH⊥BC于點H，
則有HC=MH，可得：，
解得：；（8分）
③當MN=MC時，如圖4，

過M作MI⊥CD于I，CI=，又，
即：，可得，解得：（舍去）；（9分）
當5＜t≤8時，如圖5，
過C作CJ⊥AD的延長線于點J，過N作NK⊥BC于點K；
則：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④當MC=NC時，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤當MN=MC時，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：（舍去）；（11分）
⑥當MN=NC時，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：（舍去）．（12分）
綜上：當時，△MCN為等腰三角形．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數(shù)的最值和一元二次方程的應用等知識，分別從當MC=NC時，當MN=NC時，當MN=MC時進行分類討論注意不要漏解．