Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx﹣2 與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0）．點M、N在x軸上，點N在點M右側(cè)，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

（2）求點C在這條拋物線上時m的值．

（3）將線段CN繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對應(yīng)線段DN．

①當(dāng)點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標(biāo)．

②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點E在這條拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值．

（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為）

 

Answer 1

【答案】

（1）。

（2）m的值為或。

（3）①點D的坐標(biāo)為（，﹣2）。

②m的值為m=或m=或m=或m=。

【解析】

試題分析：（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）兩點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx﹣2，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

∵拋物線y=ax²+bx﹣2經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（4，0），

∴，解得。

∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為。

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點C的坐標(biāo)為（m，2），再將C的坐標(biāo)代入，即可求出m的值。

∵△CMN是等腰直角三角形，∠CMN=90°，∴CM=MN=2�！帱cC的坐標(biāo)為（m，2）。

∵點C（m，2）在拋物線上，∴。

解得m₁=，m₂=。

∴點C在這條拋物線上時，m的值為或。

（3）①先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸為直線x=，然后根據(jù)點D在直線x=上，即可求出點D的坐標(biāo)。

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點的位置有四種情況：

如果E點在E₁的位置時，

∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），MN=ME₁=2，點N的坐標(biāo)為（m+2，0），

∴點E₁的（m﹣2，0）。

∵點E₁在拋物線的對稱軸x=上，

∴m﹣2=，解得m=。

如果E點在E₂的位置時，

∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點N的坐標(biāo)為（m+2，0），

∴點E₂的（m+2，﹣4）。

∵點E₂在拋物線的對稱軸x=上，∴m+2=，解得m=。

如果E點在E₃的位置時，

∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），∴點E₃的（m，2）。

∵點E₃在拋物線的對稱軸x=上，∴m=。

如果E點在E₄的位置時，

∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點E₄的（m+4，﹣2）。

∵點E₄在拋物線的對稱軸x=上，∴m+4=，解得m=。

綜上可知，當(dāng)點E在這條拋物線的對稱軸上時，所有符合條件的m的值為m=或m=或m=或m=。