Question

如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△ABC=，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，以PQ為邊作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，正方形PQEF的面積為S，請?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時，正方形PQEF的某個頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上，請直接寫出t的值．

　

　  

Answer 1

解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，

∵AC=9，S_△ABC=，

∴AC•BM=，即×9•BM=，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM===4，

則tanA==；

（2）存在．

如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．

依題意得AP=CQ=5t．

∵tanA=，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根據(jù)勾股定理得到：PN²+NQ²=PQ²，

S_{正方形PQEF}=PQ²=（3t）²+（9﹣9t）²=90t²﹣162t+81（0＜t＜）．

∵﹣==在t的取值范圍之內(nèi)，

∴S_最小值===；

（3）

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上時，t₁=；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在邊HG上時，t₂=；

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）時，t₃=1

④如圖6，當(dāng)點(diǎn)F邊C上時，t₄=．