Question

若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則點(diǎn)P叫做拋物線的不動點(diǎn)．設(shè)拋物線y=ax²+x+2經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）
（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)和不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點(diǎn)．證明平移后的拋物線的頂點(diǎn)在直線4x-4y-1=0上．

Answer 1

分析：（1）可將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
按題目給出的不動點(diǎn)的形式設(shè)出不動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線中，即可求出不動點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）可設(shè)出平移后拋物線的解析式，由于這個拋物線只有一個不動點(diǎn)，因此這個函數(shù)與直線y=x只有一個交點(diǎn)，根據(jù)根的判別式即可得出平移后拋物線解析式的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其代入直線4x-4y-1=0中，進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）已知拋物線y=ax²+x+2經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），
則有：a-1+2=0，a=-1
∴y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

∴拋物線的頂點(diǎn)為（

1

2

，

9

4

）
設(shè)不動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m），
則有：-m²+m+2=m，
解得m=±

2

，
∴不動點(diǎn)（

2

，

2

）和（-

2

，-

2

）．

（2）設(shè)平移后的拋物線為y=-（x-a）²+b，
由于拋物線只有一個不動點(diǎn)，
因此拋物線與直線y=x只有一個交點(diǎn)，
即x=-（x-a）²+b，
化簡得-x²+（2a-1）x-（a2-b）=0，
△=（2a-1）²-4（a²-b）=0，即4a-4b-1=0，
很明顯，平移后拋物線的頂點(diǎn)在直線4x-4y-1=0上．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識點(diǎn)．