Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（b＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點(diǎn)，以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b值由小到大變化過程時(shí)，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在b值的變化過程中，若△PCD為等腰三角形，且PC=PD，請直接寫出b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)橐訫（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作的等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，則PK=KM=NM=2，進(jìn)而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情況討論：當(dāng)0＜b≤2時(shí)，S=0；當(dāng)2＜b≤3時(shí)，重合部分是一個(gè)等腰直角三角形，可設(shè)AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=（2b-4）²；當(dāng)3＜b＜4時(shí)，重合部分是一個(gè)四邊形，因此可設(shè)AC交PN于H，四邊形的面積=三角形PMN的面積-三角形HAN的面積，因?yàn)镹A=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）²+4，當(dāng)b≥4時(shí)，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）當(dāng)△PCD為等腰三角形，且PC=PD時(shí)，b=4．
解答：解：（1）如圖（二），作PK⊥MN于K，
∵M(jìn)（4，0），N（8，0），
∴MN=4，OM=4，
又∵△PMN是等腰三角形，MN是斜邊，
∴PK=KM=NM=2，
∴KO=OM+MK=6，
∴P（6，2）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)A落在線段OM上（可與點(diǎn)M重合）時(shí)，如圖（一），此時(shí)0＜b≤2，S=0；
②當(dāng)點(diǎn)A落在線段AK上（可與點(diǎn)K重合）時(shí)，如圖（二），此時(shí)2＜b≤3，設(shè)AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=（2b-4）²=2b²-8b+8，

③當(dāng)點(diǎn)A落在線段KN上（可與點(diǎn)N重合）時(shí)，如圖（三），此時(shí)3＜b≤4，設(shè)AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S_△PMN-S_△ANH=4-2（4-b）²=-2b²+16b-28，

④當(dāng)點(diǎn)A落在線段MN的延長線上時(shí)，b＞4，如圖（四），S=4；


（3）b的值為4．
∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（2b，b），（b，b），PC=PD，P（6，2），
∴（6-2b）²+（2-b）²=（6-b）²+（2-b）²
∴b=4．
點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題．本題是一道綜合性極強(qiáng)的題目，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．