Question

如圖1，一副三角板的兩個直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不動，△AOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180° ）

（1）若△AOB繞著O點旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=

120°

；
（2）若0°＜α＜90°，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠BOD+∠AOC的值會發(fā)生變化嗎？若不變化，請求出這個定值；
（3）若90°＜α＜180°，問題（2）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；
（4）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），問當α為多少度時，兩個三角形至少有一組邊所在直線垂直？（請直接寫出所有答案）．

Answer 1

分析：（1）∠BOD=60°，△AOB旋轉(zhuǎn)了30°
（2）若0°＜α＜90°，∠AOC=∠COD+∠AOD，∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠BOD+∠AOC的值不變化
（3）若90°＜α＜180°，∠BOD+∠AOC=360°-（∠COD+∠AOB）=180°

解答：解：（1）∵∠BOD=60°，△AOB繞著O點旋轉(zhuǎn)了30°，即∠AOD=30°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+90°=120°；

（2）若0°＜α＜90°，∵∠AOD=α，∠AOC=∠COD+∠AOD，
∴∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠BOD+∠AOC的值不變化，∠BOD+∠AOC=180°；

（3）若90°＜α＜180°，問題（2）中的結(jié)論還成立
理由：若90°＜α＜180°，∵∠AOB=∠COD=90°；又∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°
∴∠BOD+∠AOC=360°-∠AOD-∠COD=360°-90°-90°=180°；

（4）α=90°、30°、45°、75°、120°、135°時，兩個三角形至少有一組邊所在直線垂直．

點評：本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的圖形不變．