(2013•南通二模)如圖,點(diǎn)A是雙曲線y=
4
x
在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B,以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,點(diǎn)C在第二象限,隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C的位置也不斷的變化,但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng),則這個(gè)函數(shù)的解析式為
y=-
4
x
y=-
4
x
分析:連結(jié)OC,作CD⊥x軸于D,AE⊥x軸于E,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,
4
a
),利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則OA=OB,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OC=OA,OC⊥OA,然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE,則根據(jù)“AAS”可判斷△COD≌△OAE,所以O(shè)D=AE=
4
a
,CD=OE=a,于是C點(diǎn)坐標(biāo)為(-
4
a
,a),最后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定C點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式.
解答:解:連結(jié)OC,作CD⊥x軸于D,AE⊥x軸于E,如圖,
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,
4
a
),
∵A點(diǎn)、B點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y=
4
x
的交點(diǎn),
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴OA=OB
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴OC=OA,OC⊥OA,
∴∠DOC+∠AOE=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠AOE,
∵在△COD和△OAE中
∠CDO=∠OEA
∠DCO=∠EOA
CO=OA

∴△COD≌△OAE(AAS),
∴OD=AE=
4
a
,CD=OE=a,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-
4
a
,a),
∵-
4
a
•a=-4,
∴點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-
4
x
圖象上.
故答案為y=-
4
x
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì);熟練運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問(wèn)題.
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=
-3
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