如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形,E是AB的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.
(1)求證:①△AEF≌△BEC;②四邊形BCFD是平行四邊形;
(2)如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,HK為折痕,求sin∠ACH的值.

【答案】分析:(1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,從而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E為AB的中點(diǎn),得到AE=BE.又因?yàn)椤螦EF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC.
②在Rt△ABC中,E為AB的中點(diǎn),則CE=AB,BE=AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因?yàn)椤螧AD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.
(2)在Rt△ABC中,設(shè)BC=a,則AB=2BC=2a,AD=AB=2a.設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2
在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:HC求值.
解答:(1)證明:①在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
在等邊△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E為AB的中點(diǎn),
∴AE=BE.
又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC.

②在△ABC中,∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
∴CE=AB,BE=AB.
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四邊形BCFD是平行四邊形.

(2)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,設(shè)BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2,
解得x=a,即AH=a.
∴HC=2a-x=2a-a=a.
∴sin∠ACH==
點(diǎn)評(píng):本題考查了:
(1)折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;
(2)全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,平行線的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),正弦的概念求解.
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(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2

(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長(zhǎng).精英家教網(wǎng)

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;
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DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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12
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