Question

如圖，等邊△ABC邊長為4，E是邊BC上動點，EH⊥AC于H，過E作EF∥AC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PE=EB．設EC=x（0＜x≤2）．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動點，當四邊形EFPQ是平行四邊形時，求平行四邊形EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）當（2）中的平行四邊形EFPQ面積最大值時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)，求相應的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥AC，可得等邊三角形BEF，則可寫出與EF相等的線段；
（2）根據(jù)（1）可知EF=BE=4-x，要求平行四邊形的面積，只需求得EF邊上的高．作EH⊥AC于H，根據(jù)30度的直角三角形EHC進行表示EH的長，進一步求得平行四邊形的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點式或頂點的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時x的值，分析平行四邊形的位置和形狀．然后根據(jù)公共點的個數(shù)分析圓和平行四邊形的各邊的位置關系，進一步根據(jù)圓和直線的位置關系求得r的取值范圍．

解答：解：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條．

（2）連接FP，作EQ∥FP交FE于E
設EC為x
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=90°
∴△CHE為直角三角形
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°
在Rt△CHE中，∠CHE=90°，∠C=60°，
∠HEC=180°-∠C-∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE²=EC²-HC²
∴EH=

3

2

x，
∵EF∥AC，F(xiàn)P∥EQ
∴四邊形EFPQ為平行四邊形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4-x
∴S_{平行四邊形EFPQ}=-

3

2

x²+2

3

x．

（3）S_{平行四邊形EFPQ}=-

3

2

x²+2

3

x
=-

3

2

（x-2）²+2

3

，
∴當x=2時，S_{平行四邊形EFPQ}有最大值．
此時E、F、P分別為△ABC三邊BC、AB、AC的中點，且點C、點Q重合
∴平行四邊形EFPQ是菱形．
過E點作ED⊥FP于D，
∴ED=EH=

3

．
∴當⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是2個時，0＜r＜

3

；
當⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是4個時，r=

3

；
當⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是6個時，

3

＜r＜2；
當⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是3個時，r=2；
當⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù)是0個時，r＞2．

點評：綜合運用了等邊三角形的判定和性質、解直角三角形的知識、直線和圓的位置關系與數(shù)量關系之間的聯(lián)系．