Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：①∠BOC=90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位線；③設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn；④以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．其中正確結論的個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由角平分線的性質與三角形的內角和定理，即可求得①∠BOC=90°+∠A正確；又有特殊三角形（等邊三角形）的三線合一性質，可得EF可以是△ABC的中位線，確定②錯誤；然后根據角平分線的性質與面積的求解方法，即可得S_△AEF=mn；首先證得△OBE與△OCF是等腰三角形，根據圓與圓的位置關系，即可得以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．繼而求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A；故①正確；
若△ABC是等邊三角形，則三線合一，此時EF是△ABC的中位線；故②錯誤；
連接AO，過點O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分線，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③錯誤；
④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠FOC=∠OCB，
∵∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．故④正確．
故選B．
點評：此題考查了角平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，以及圓與圓的位置關系等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．