Question

在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫、縱軸的單位長(zhǎng)度相同，A、B的坐標(biāo)分別為（8，6），（16，0），點(diǎn)P沿OA邊從點(diǎn)O開(kāi)始向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿BO邊從B點(diǎn)開(kāi)始向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度每秒2個(gè)單位，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)時(shí)間，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
求：（1）幾秒時(shí)PQ∥AB；
（2）設(shè)△OPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）△OPQ與△OAB能否相似？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得，
當(dāng)PQ∥AB時(shí)，=，
則：，得：

（2）過(guò)P作PC⊥OB，垂足為C，過(guò)A作AD⊥OB，垂足為D．則
=，=，
∴PC=，y=OQ•PC=（16-2t）•t=-+t；
∴y=-+t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=，∴OP=，
∵==（其中AD=6，OA=10，OD=8）即==，
∴OC=，PC=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．
同理，當(dāng)OPQ∽△OBA時(shí)，OC=，PC=
∴P₂（，）
P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）或（，）
分析：（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求得AO=10，然后根據(jù)平行線PQ∥AB分線段成比例知，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，并解方程；
（2）過(guò)P作PC⊥OB，垂足為C，過(guò)A作AD⊥OB，垂足為D．構(gòu)造平行線PC∥AQ，根據(jù)平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關(guān)于y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，得到兩對(duì)同位角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例及勾股定理的應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構(gòu)造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來(lái)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．