Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于O點，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求證：OE=OF；

（2）若BC=，求AB的長。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB。

∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。

又∵AE=CF，∴△OEA≌△OFC（ASA）。

∴OE=OF。

（2）如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∠ABO=∠OBF。

∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OBE=∠BAC。

又∵矩形ABCD中，∠ABC=90⁰，∴∠BOE=∠ABC=90⁰。

∴△OBE∽△BAC�！�。

∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。

設AB=x，AE=OE=y，則。

∵BC=，∴。

由（1）△OEA≌△OFC，得AO=CO，∴。

∴�！�  ①。

又∵，即，

化簡，得  ②。

由①②得，兩邊平方并化簡，得，

∴，∴根據(jù)x的實際意義，得x=6。

∴若BC=， AB的長為6。

【解析】（1）由矩形的性質，結合已知可根據(jù)ASA證出△OEA≌△OFC，從而得出結論

（2）連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，∠ABO=∠OBF，從而得到△OBE∽△BAC，設出未知數(shù)和參數(shù)：AB=x，AE=OE=y，可得，在Rt△OBE中應用勾股定理得，二者聯(lián)立，解出x即可。