Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB=4．將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上．
（1）在如圖所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長．
（2）線段AD上有一動點P（不與A、D重合）自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜3），過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數(shù)關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）當t（0＜t＜3）為何值時，A、D、M三點構成等腰三角形？并求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，以及對應角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據(jù)勾股定理求出AB的長，設出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而寫出點E的坐標，再在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長即可；
（2）根據(jù)兩組對邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出AP的長，進而得到PD的長，又由平行得到兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長，由矩形的面積公式長乘以寬和表示出的長DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數(shù)關系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時t的值即可；
（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)有兩種情況滿足△ADM為等腰三角形，①當MD=MA時，P為AD中點，由AD求出AP，進而根據(jù)速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標，求出FA，進而求出OF的長，即為M的橫坐標，寫出M的坐標即可；②當AD=AM=3時，由平行的兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到比例式，求出AP的長，由速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐標．

解答：解：（1）據(jù)題意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB=

32+42

=5，
設DE=OE=x，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2²+x²=（4-x）²，解得x=

3

2

，∴E（0，

3

2

）
在Rt△AOE中，AE=

32+( 3 2 )2

=

3 5

2

；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，
∴四邊形PMND是矩形，
∵AP=t×1=t，
∴PD=3-t，
∵△AMP∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AD

，
∴PM=

AP

AD

•DE=

t

2

，
∴S矩形PMND=PM?PD=

t

2

?(3-t)，
∴S矩形PMND=-

1

2

t2+

3

2

t或S矩形PMND=-

1

2

(t-

3

2

)2+

9

8

，
當t=-

3 2

2×(- 1 2 )

=

3

2

時S最大=

9

8

；

（3）顯然DM≠AD，故等腰三角形有以下二種情況：
①當MD=MA時，點P是AD中點，
∴AP=

AD

2

=

3

2

，
∴t=

3

2

÷1=

3

2

（秒）
∴當t=

3

2

時，A、D、M三點構成等腰三角形，
過點M作MF⊥OA于F，
∵△APM≌△AFM，
∴AF=AP=

3

2

，MF=MP=

t

2

=

3

4

，
∴OF=OA-AF=3-

3

2

=

3

2

，
∴M（

3

2

，

3

4

）；

②當AD=AM=3時，
∵△AMP∽△AED，
∴

AP

AD

=

AM

AE

，
∴

AP

3

=

3

3 5 2

，
∴AP=

6 5

5

，
∴t=

6 5

5

÷1=

6 5

5

（秒）
∴當t=

6 5

5

秒時，A、D、M三點構成等腰三角形，
過點M作MF⊥OA于F，
∵△AMF≌△AMP，
∴AF=AP=

6 5

5

，F(xiàn)M=PM=

t

2

=

3 5

5

，
∴OF=OA-AF=3-

6 5

5

，
∴M（3-

6

5

5

，

3

5

5

）．

點評：此題綜合考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質及勾股定理，考查了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想，此題的綜合性比較強，要求學生掌握知識要全面．