Question

如圖，拋物線y＝－x²＋mx＋n與x軸分別交于點(diǎn)A（4，0），B（－2，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；                                 
（2）M為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M在何處時(shí)，△ACM的面積最大；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請求出所有可能點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y＝－x²＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）

試題分析：（1）由拋物線股過點(diǎn)A（4，0），B（－2，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)M坐標(biāo)為（a，－a ²＋2a＋8），先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求得直線AC的解析式，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標(biāo)為(a，－2a＋8)，根據(jù)△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，②當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，③當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，這三種情況分析即可.
（1）∵y＝－x²＋mx＋n與x軸分別交于點(diǎn)A（4，0），B（－2，0），
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝－x²＋2x＋8；
（2）設(shè)M坐標(biāo)為（a，－a ²＋2a＋8），其中a＞0．
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，
∴C(0，8)．
∵A（4，0），C(0，8)．
∴直線AC的解析式為y＝－2x＋8．
過點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標(biāo)為(a，－2a＋8)．
∴△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積＝－a ²＋4a＝－(a－2)²＋4
當(dāng)a＝2，即M坐標(biāo)為（2，8）時(shí)，△ACM的面積最大，最大面積為4；
（3）①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，9.5)；
②當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－1.5）； 
③當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4＋）或（1，4－）．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．