Question

已知關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b為實(shí)數(shù)．
（1）若此方程有一個(gè)根為2a（a＜0），判斷a與b的大小關(guān)系并說明理由；
（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把x=2a代入求值即可；
（2）只要讓根的判別式△=b²-4ac≥0，進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）∵方程x²-2ax-a+2b=0有一個(gè)根為2a，
∴4a²-4a²-a+2b=0，
整理，得b=

a

2

，
∵a＜0，
∴a＜

a

2

，
即a＜b；

（2）△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
∵對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，
∴對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有4a²+4a-8b≥0，即a²+a-2b≥0，
∴對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有b≤

a2+a

2

，
∵

a2+a

2

=

1

2

（a+

1

2

）²-

1

8

，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，

a2+a

2

有最小值-

1

8

，
∴b的取值范圍是b≤-

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根的判別式和與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．