Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心、CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E．求AB、AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的長(zhǎng)；
延長(zhǎng)BC交⊙C于點(diǎn)F，根據(jù)割線定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得AD的長(zhǎng)．
解答：解：法1：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；
根據(jù)勾股定理，得AB=5．
延長(zhǎng)BC交⊙C于點(diǎn)F，則有：
EC=CF=AC=3（⊙C的半徑），
BE=BC-EC=1，BF=BC+CF=7；
由割線定理得，BE•BF=BD•BA，
于是BD=；
所以AD=AB-BD=；
法2：過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，如圖所示，

由垂徑定理可得M為AD的中點(diǎn)，
∵S_△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（）²，
解得：AM=，
∴AD=2AM=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及割線定理的理解及運(yùn)用．