Question

聰聰同學從小就喜歡動手動腦，請看他的研究：
①以AB為直徑畫⊙O；
②在⊙O上任取一點C；
③作∠ACB的角平分線與AB相交于點D；
④作CD的中垂線L與AC、BC分別相交于E、F；
⑤連接DE、DF．
如圖，他發(fā)現(xiàn)：①∠ADE與∠BDF互余；�、谒倪呅蜟EDF為正方形；
③四邊形CEDF的面積為AE•BF；④四邊形CEDF的面積為常數(shù)．
你認為其中正確的是________；（請?zhí)钌纤�有正確答案的序號）

Answer 1

①②③
分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，可以證明CE=DE，CF=DF，再逆用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=CF，所以四邊形CEDF四條邊都相等，并且∠ACB是直角，所以四邊形CEDF為正方形，然后根據(jù)正方形的四個角都是直角可以推出①正確，從而又可以證明△ADE與△DFB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，轉(zhuǎn)化為乘積式即可證明③，利用極點法可以判斷四邊形CEDF的面積是隨著點C的變化而變化的．
解答：根據(jù)題意，EF垂直平分CD，
∴CE=DE，CF=DF（線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等），
∵CD平分∠ACB，CD⊥EF，
∴CE=CF，
∴CE=DE=DF=FC，
∴四邊形CEDF是菱形，
∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴菱形CEDF是正方形，故②正確；
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
即∠ADE與∠BDF互余，故①正確；
又∵∠A+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
在△ADE與△DFB中，，
∴△ADE∽△DFB，
∴=，
∴DE•DF=AE•BF，
正方形CEDF的面積=DE•DF=AE•BF，故③正確；
四邊形CEDF的面積是隨著點C變化而變化的，
當點C無限接近點A、B時，四邊形CEDF的面積趨于0，當點CD過圓心O是面積最大，
∴四邊形CEDF的面積不是常數(shù)，故④錯誤．
所以①②③正確．
故答案為：①②③．
點評：本題考查了相似三角形的判定與相似三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)，以及正方形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，證明四邊形CEDF是正方形是解得本題的關(guān)鍵，突破口．